Cardinal de un conjunto.

significa también, numero de elementos del conjunto.
osea el cardinales el numero de elementos que posee. El cardinal de un conjunto A se denomina por n(A) y se lee; "numero de elementos del conjunto A."
 Es la unión de dos conjuntos se define como la suma de los cardinales de los conjuntos, menos el cardinal de la intersección.

n(A u B) = n(A) + n(B) -n(A n B)

Aplicaciones de las operaciones.

Teoría de conjuntos.

es una colección de objetos bien definidos por medio de alguna o algunas propiedades en común. Por objeto entendemos no solo cosas físicas, sino también abstractos como números, letras, etc..
un conjunto se puede escribir en cualquiera de las formas siguientes:

1. Forma tabular, enumerativa o extensiva.
2. forma descriptiva o comprensiva.
3. forma gráfica.

Variaciones de la condicional.

existen 3,

1. la reciproca. q => p
2. La inversa.  ~p => ~q
3. La contra-positiva. ~q => ~p

Condicional o Implicación.

Condicional de las proposiciones p y q es la proposición p => q(si p entonces q ), cuya tabla de valores de verdad es;

Por ejemplo;

LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL, Leyes de morgan.

Las leyes de Morgan son una parte lógica proporcional y analítica creada por Augustus de Morgan (madura, 1806)(Londres, 1871).

Las leyes de Morgan son muy útiles cuando se quieren encontrar equivalentes para las proposiciones que se obtiene por negación de proposiciones compuestas.
La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones.

~(p^q)=~p\/~q

La Negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones.

~(p\/q)=~p^~q

Conjunción y Disyunción.

• Conjunción.

Dadas dos proposiciones; p y q, se denomina conjunción a la proposición  p /\ q (se lee P y q) cuya tabla para entender es esta.

• Disyunción.

Dadas las dos proposiciones p y q, la disyunción de estas, es la proposición p \/ q cuya tabla de valor de verdad es; 

Proposiciones y valores de verdad.

Estas pueden tener diferentes significados que pueden resumirse en formas verdaderas o falsas. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado, es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de estas podamos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de estas.

• Proposición.

La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y solo uno de los valores de verdad, que puedan ser, verdadero o falso. pero no ambos valores a la vez.

Existen ciertos tipos  como expresiones no proposicionales que no se les puede asignar un valor de verdad, entre ellos los exclamativos, interrogativos, imperativos, y opiniones.
Enunciados abiertos, donde el sujeto no esta especificado, y da información que no se puede calificar como verdadera o falsa por lo tanto no tiene valor de verdad.
Proposición simple. Aquellas que se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples o atómicas.
Proposiciones compuestas. cuando consta de dos o más enunciados simples.

Proposiciones y valores de verdad.

Estas pueden tener diferentes significados que pueden resumirse a formas verdaderas o falsas. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado, es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de estas podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de estas.

Propocisición
La proposición es el significado de una idea, enunciado conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y solo uno de los valores de verdad, que pueden ser: (v) verdadero, (f) falso. 
La aseveración de este tiene un valor real.

Expresiones no proporcionales.
Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos, imperativos y opiniones.

Enunciados abiertos. (proposición abierta)
Su sujeto no esta especificado, osea, no se sabe si tiene un valor realmente. Es un enunciado que da información que no se puede calificar como verdadera o falsa, porque el sujeto no está especificado, por lo tanto, no tiene valor de verdad. En la primera oración no está determinado el sujeto, y si no sabemos de quién se habla, no podemos afirmar que la información es verdadera o falsa, por lo tanto es una preposición abierta.

Clasificaciones de las proporciones.

SIMPLE; solo tiene una proporción, son aquellas que se les puede representar por una sola variable se llaman proposiciones simples o  ATÓMICAS. es un enunciado que da solamente una información verdadera o falsa.

COMPUESTA; cuando una proporción consta de dos o más enunciados simples, se le llama proporción compuesta o MOLECULAR. una preposición es compuesta cuando se construye uniendo dos o más proporciones simples, y por ello, nos da más de una información, por ejemplo, podemos encontrar un patrón para identificar estas preposiciones, que son estas;

Y,
O,
SI.. ENTONCES,
SI Y SOLO SI.

Por ejemplo;

Ciencias Económicas es una facultad de la Universidad Rafael Landívar Y pertenece a Guatemala.
                                                    P                                                                                 Q

 

INTERPRETACIÓN DE INFORMACIÓN.

• Lectura e interpretación de gráficas.

Las gráficas son representaciones abstractas de relaciones entre dos o más variables, resumen y organizan la información, además resaltar visualmente sus propiedades más importantes, las representaciones gráficas permiten establecer patrones y transmitir ideas de modo más sencillo. 

Es muy importante interpretar todo tipo de gráficas, dado que su interpretación es en algunos casos fuente de error al confundir la gráfica y dibujo que acompañan al enunciado. Hay casos en que la relación entre dos variables es sencilla de interpretar y la gráfica que expresa se deduce directamente del dibujo que acompaña al enunciado. Hay casos en que la relación entre dos variables es sencilla de interpretar y la gráfica que expresa se deduce directamente del dibujo que acompaña al texto.

Los diferentes tipos de gráficas entre las más comunes están las gráficas circulares, las gráficas de barras o columnas, las gráficas lineales, entre otras.    

Estrategia: resolver una ecuación de primer grado.

La estrategia de utilizar la ecuación de primer grado para resolver un problema es muy importante, porque muchos problemas de las ciencias, la economía, las finanzas la medicina y de otros campos se pueden plantear en términos de una ecuación.

Ecuación. 
Una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones son iguales, en ella se incluyen términos conocidos viables o incógnitas y signos de operación y agrupación. 

Estrategia: proporcionalidad o porcentajes.

El uso de esta estrategia se basa en conocer ciertos conceptos fundamentales. 

Encontramos que el resultado es comparar dos cantidades y será siempre el número real.

sea la razón x : y (se lee x es a y) donde x le llamaremos antecedente, y a y  consecuente.

X:Y  =  X = ANTECEDENTE

             Y    CONSECUENTE

Acá como el nombre lo dice, vemos proporción y se le denomina proporción a la igualdad de dos razones. Una proporción se puede describir de dos formas. 

a:b  ::  c:d

 y porcentajes que es la razón en la cual el consecuente es 100. La razón representa un porcentaje y se puede describir así:

   antecedente = P    = p%

consecuente = 100       

ESTRATEGIA: Resolver un problema equivalente.

Varios problemas se pueden resolver al visualizar un problema equivalente. Esta estrategia consiste en el comparar el problema con otro parecido, cuya solución se conoce o es más fácil de resolver y relacionarlo con el nuevo problema.
Resolver un problema mas simple muchas veces puede guiarnos a la solución o resolución del problema real y difícil.

Lo que yo pude entender sobre esta estrategia es que se puede llegar a la misma respuesta con diferentes maneras pero todas pueden estar correctas. si al final encontramos el método exacto. creo que en esta estrategia también vemos mucho "prueba y error", ya que se puede de varias formas. es mas sobre lógica.

ESTRATEGIA: hacer un diagrama o figura.

En la mayoría de problemas es útil dibujar un diagrama o esquema, e identificar con ellos datos e incógnitas del problema. En la figura se colocan todos los datos conocidos que da el problema y los datos que se pretende encontrar, esto nos ayuda a tener una mejor idea y visualización de lo que el problema pide. Para entender el procedimiento lógico que lleva la solución. 

Estrategia; trabajar hacia atrás.

Esta estrategia consiste en que, a partir del dato final o la solución, ir pensando hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales. Se precede a recorrer la secuencia de pasos al contrario para ir de los datos conocidos a la solución, osea, leer de atrás para delante.

Acá lo que vemos es que en este tipo de problemas nos pide encontrar la cantidad inicial antes de varios gastos realizados dándonos como dato la cantidad final, partimos de lo conocido a lo desconocido, pero, en este caso se tiene el dato final y se quiere encontrar el dato inicial, la estrategia para resolver este problema es trabajar hacia atrás. Al momento en el que llegamos al ultimo paso de polya llegamos a la conclusión que en este problema para comprobar  o revisar que este bien solucionado, se puede iniciar con la solución obtenida.

ESTRATEGIA; Utilización de un cuadro o una lista.

En muchos problemas es útil colocar los datos del problema de un cuadro o lista, e identificar en él los datos e incógnitas del problema.

En todos los problemas, en los 4 pasos de polya, uno de ellos es formular un plan y se sabe que hay un problema definido, se puede aplicar la estrategia de utilización de un cuadro o lista. este patrón continúa a lo largo de toda la tabla.

El resolver problemas utilizando esta estrategia me permite ser mas ordenado y me ayuda a enfocarme y transmitir mis ideas. 

Al realizar varios ejercicios, me tope con uno ejercicio en especifico que se me dificultó. La razón de ésto fue que no hice una tabla, cuadro, o lista para resolverlo. Intente realizar el ejercicio en mi mente sin escribirlo o dejar rastro de lo que hacia y eso termino causando confusión. 

numéricamente y verificando la tabulación de los datos se tiene que se puede revisar y comprobar, al ver en la columna de los números que corresponden a la sucesión de Fibonacci.

Estrategia; Buscar un patrón.

Algunos problemas pueden resolverse cuando se identifican en ellos un patrón que se repite. El patrón puede ser numérico o algebraico. Si se distingue alguna regularidad o repetición, se tendrá la solución al problema.

Según lo visto, es recomendable hacer problemas mas fáciles para entenderlo y entender como podemos encontrar un patrón de una forma más fácil. Incluso, muchos problemas se pueden resolver con tan solo leerlos mas de 2 veces, ya que por lógica se puede llegar a una respuesta correcta.



En otros casos, cuando la secuencia es más compleja, no es tan fácil deducir cómo se hace. Cuando te encuentras con estos patrones más complicados, es útil tener una estrategia para encontrar cómo se determinó el patrón de forma matemática. Una vez que sabes cómo encontrar el patrón, puedes encontrar cualquier número de la secuencia. 

Resolución de problemas. Otras estrategias.

• Estrategia: considerar un problema similar más simple.

                                                

Al tener un problema complejo suele ser de gran ayuda un problema más sencillo que este relacionado con el que se tiene que resolver, pero debemos considerar que su resolución sea más simple o más fácil de hacer para encontrar la forma o incluso el patrón.

En un problema sencillo similar se pretende buscar una relación o datos parecidos que involucren una idea a la situación que se plantea y estos conocimientos aplicarlos al problema complejo para llegar a la solución final.

Para toda resolución de problemas esta bien que se utilicen los 4 pasos de polya para poder hacer los procedimientos de manera más fácil y ordenada.

1. Comprender el problema. ¿Qué debo encontrar?
2. Formular un plan. Definir la o las estrategias que me ayuden a solucionar el problema: considerar un problema más sencillo. 
3. Llevar a cabo un plan. al considerar un problema extra más fácil para entenderlo.
4. Revisar y comprobar. Al revisar y comprobar/verificar, debemos tomar en cuenta de encontrar si es que existe un patrón.

Método de Polya.

• Problema.

Requiere la aplicación de alguna estrategia para su solución. Si esto no se cumple, deja de ser un problema. se debe observar, planificar, experimentar, decidir, compartir, argumentar, diseñar, disfrutar, etc.

• Existe el método de polya.

1. comprender el problema.
2. formular un plan.
3. llevar a cabo un plan.
4. revisar y comprobar.

• Comprender el problema.

No se puede resolver un problema si no se entiende lo que se pide encontrar, osea no podemos responder 2+2 si no sabemos lo que una suma es. entonces el problema debe ser leído, y analizado cuidadosamente así sea necesario leerlo varías veces para entenderlo. para llegar a solucionarlo o entenderlo se deben seguir varios pasos.

1. ¿Qué condición debe cumplir?
2. ¿Se entiende que se dice?
3. ¿ puede planearse el problema en sus propias palabras?
4. ¿se distingue cuales son los datos que da el problema o pregunta?
5. ¿sabe a qué quiere llegar?
6. ¿hay suficiente información?
7. ¿hay información entraña?
8. ¿es este problema similar a algún otro que se haya resuelto con anterioridad?

Si después de cuestionarse esta lista con claridad ya se entendió lo que se pregunta, ya podemos estar preparados para resolver un problema.

• Formular un plan o seleccionar una estrategia.

Se conocen muchas formas para resolver un problema y decidir que plan o estrategia es la correcta o la mejor, ya que opciones encontramos muchas. varias de ellas son estas.

1. Ensayo y error.
2. Usar una variable.
3. Buscar un patrón.
4. Hacer un cuadro o una lista.
5. Resolver un problema similar o más sencillo.
6. Hacer una figura o un diagrama.
7. Razonamiento directo.
8. Análisis dimensional.
9. Razonamiento indirecto.
10. Propiedades de los números.
11. Resolver un problema equivalente.
12. Trabajar hacia atrás.
13. Resolver una ecuación de primer grado.
14. Buscar una formula.
15. Usar coordenadas.

En cada uno de estas estrategias, nos podemos dar cuenta que es necesario entender la pregunta como primer paso y después esta bien intentar y fallar hasta que podamos resolverla o solucionarla, debemos entender realmente el tema para también poder tener no solo la solución del problema sino  .

• Llevar a cabo un plan o aplicar la o las estrategias seleccionadas.

Implementar la o las estrategias seleccionadas hasta resolver completamente el problema o hasta acción le sugiere tomar otro rumbo. No se debe tener miedo de volver a intentar o incluso empezar, es frecuente que un nuevo intento lleve a la respuesta correcta.

  

Métodos de razonamiento.

  

Se basa en varios puntos;

1. Lógica: Sigue un proceso adecuado en el desarrollo del pensamiento.
2. Estrategia: Arte de dirigir todo tipo de operaciones dentro de dirigir todo tipo de operaciones para dirigir un acento. 
3. Razonamiento: están por pasos. 

• Inductivo.
• Deductivo.
• Analógico.